Complexité

Un comportement complexe si situe au bord du chaos. En ce sens, la complexité apparaît entre la régularité et le chaos. Un comportement complexe n'est ni complètement régulier ni complètement chaotique.

I. Les concepts fondamentaux

Linéarité

Dans les systèmes dynamiques linéaires, la dynamique est déterminée par une loi linéaire de développement ou une équation linéaire. Les causes et les effets sont alors proportionnelles. Une petite déviation du système dans un état stable provoque une petite modification du système. Par exemple, une petite impulsion donnée à un pendule en provoquera une petite oscillation.

Non-linéarité

Dans les systèmes non linéaires, la dynamique est déterminée par une loi non linéaire de développement ou une équation non linéaire. Les causes et les effets ne sont plus alors proportionnelles.

Effet papillon

Image illustrant l'étroite dépendance d'un système chaotique vis-à-vis des plus petites modifications des données initiales. le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une transformation à grande échelle de la situation météorologique.

Chaos déterministe

Le chaos déterministe est l'attracteur d'un système dynamique non linéaire, qui se comporte de manière irrégulière et non périodique ("chaotique") bien que ses états soient déterminés par une loi de développement. Le développement d'un système chaotique est extrêmement sensible à de petites modifications de de ses conditions initiales. En conséquence, seules des prévisions à court terme sont possibles, comme pour la météorologie. La charge de calcul croît de manière exponentielle pour les prévisions à long termes.

Bifurcation ou catastrophe

II. Histoire

A. Henri Poincaré et le problème des trois corps

Henri Poincaré, grand mathématicien et physicien, fut un des premiers à découvrir la non-linéarité des systèmes dynamiques et ainsi à proposer les linéaments d'une théorie du chaos.

Dans ses célèbres Philosophiae naturalis principia mathematica de 1687, Isaac Newton avait exposé les lois fondamentales de la trajectoire des planètes. Cependant, sa description n'était valide que pour deux corps qui interagissaient au moyen de la gravitation. Pendant deux siècles, il n'y eut guère de progrès dans l'analyse du problème pour trois corps, sans même parler du problème généralisé à N-corps.

La première incursion dans le chaos se réalisa de manière inattendue et dans des circonstances assez étranges. Dans les années 1880, à l'occasion du 60ème anniversaire du roi Oscar II de Suède fut organisée une compétition de mathématiques. Au total, quatre problèmes furent proposés. Le quatrième problème concernait les travaux du mathématicien Peter Gustav Lejeune Dirichlet, qui affirmait avoir prouvé que le système solaire est stable. Il n'avait cependant jamais publié ses preuves (si tant est qu'il les ait établies) et il mourut sans avoir révélé son secret. Karl Weierstrass s'efforça en vain de résoudre le problème. et décida de le proposer comme quatrième problème pour la compétition. La formulation de celui-ci par Weierstrass invitait explicitement à prouver qu'un système composé de N-planètes est un système stable dans lequel les trajectoires planétaires peuvent être expliquées sous la forme d'une série convergente.

Henri Poincaré était un de ceux qui s'intéressait à ce problème. A l'origine, il envisageait de limiter le problème au système solaire, dont on pensait à l'époque qu'il ne comportait que neuf planètes. Mais il prit très vite conscience qu'une telle tâche était insurmontable et il se limita en conséquence à un système composé de trois corps. Cependant, même ainsi limité, ce problème se révéla extrêmement difficile. La résolution complète du problème des trois corps exigeait selon lui la résolution de neuf équations intégrales.

La complexité du système dynamique à trois corps peut aujourd'hui aisément être simulée par ordinateur et être décrite par la théorie des systèmes non linéaires dynamiques comme un système chaotique. Ne disposant de tels instruments, il fut pourtant le premier scientifique à percevoir qu'un système déterministe pouvait ne peut pas être prévisible. En 1908, dans La science et l'hypothèse, il revient sur les résultats étonnants de ses travaux: "Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. [...] il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux; une petite erreurs sur les premières produirait une erreur énormes sur les derniers. La prédiction de vient impossible et nous avons le phénomène fortuit."

B. Edward Lorenz et la météorologie

III. L'exemple de la dynamique de développement d'une population

Bibliographie

Dittes Frank-Michael, Komplexität. Warum die Bahn nie pünklich sind?, Berlin, 2012

Gleich James, La théorie du chaos, Vers une nouvelle science, Paris, 1991

Poincaré Henri, La science et l'hypothèse, Paris, 1908.

Richter Klaus, Rost Jan-Michael, Komplexe Systeme, Francfort/Main, 2002

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